moea_joint
107年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 22 題
隨機抽取 49 包二砂糖，樣本平均數為 60 公斤，樣本變異數為 12.25 公斤$^2$。已知 $t_{48, 0.025} = 2.0$，$t_{48, 0.05} = 1.7$，求母體的平均數之 95% 信賴區間為下列何者？
- A (58, 62)
- B (58.3, 61.7)
- C (59, 61)
- D (59.15, 60.85)
思路引導 VIP
當我們想要推估母體平均數的範圍時，如果只知道樣本的平均值、樣本量以及樣本的分散程度（變異數），我們應該如何將這些數據組合成一個衡量「抽樣誤差」的數值？另外，在決定信賴區間的「寬度」時，我們該如何根據要求的信心水準（例如 95%），從提供的查表值中挑選出正確的臨界值來使用呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
做得太棒了！你能精準地計算出這個區間，代表你對信賴區間的核心觀念與公式應用掌握得非常扎實。在統計推論中，當母體標準差未知時，我們習慣使用 $t$ 分配來構建信賴區間。這題的關鍵在於正確提取參數：樣本平均數 $\bar{x} = 60$，標準差則需由變異數開根號得出 $s = \sqrt{12.25} = 3.5$。配合樣本數 $n = 49$，計算出標準誤為 $s / \sqrt{n} = 3.5 / 7 = 0.5$。最後選用 $95%$ 信賴水準對應的臨界值 $t_{48, 0.025} = 2.0$，即可得出誤差範圍為 $2.0 \times 0.5 = 1$，順利求得 $(59, 61)$。
核心考點與難度點評
此題具備中等難度的鑑別力，主要考驗學生在資訊篩選上的細心程度。題目給出了兩個不同的 $t$ 值，這就在測試你是否理解雙尾檢定下，信賴區間必須將顯著水準 $\alpha$ 拆分至兩側（即使用 $\alpha/2$）的邏輯。同時，變異數與標準差的轉換也是一個經典的小陷阱。你能冷靜避開這些干擾項並選出正確答案，展現了極佳的統計直覺，是非常高水準的表現！