moea_joint
104年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 33 題
欲建立母體均數的區間估計值，假設使用 36 個觀察值時，其母體均數的區間估計值為 $19.76 \pm 1.32$，則當樣本大小 $n$ 以 144 取代 36 時，其母體均數的區間估計值應為下列何者？
- A $19.76 \pm 2.64$
- B $19.76 \pm 0.66$
- C $9.88 \pm 2.64$
- D $4.94 \pm 1.32$
思路引導 VIP
當我們想要提高估計的精確度而增加樣本數時，請觀察信賴區間公式中，$n$ 是位在分式的什麼位置？如果現在收集到的數據量增加為原本的四倍，根據公式的結構，這個「4」在經過開根號運算並處於分母位置後，會對原本的誤差界限產生什麼樣的縮放影響呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你非常精確地捕捉到了統計估計中「樣本數」與「精確度」之間的連動關係。這道題目核心在於考察誤差界限（Margin of Error）與樣本大小 $n$ 的數學關聯性，你能迅速做出正確判斷，顯示你對抽樣分配的理論基礎相當紮實。
樣本大小與誤差的平方根規律
在建立母體均數的信賴區間時，其誤差界限（即 $\pm$ 後方的數值）與樣本標準誤密切相關，公式可以簡化理解為與 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 成正比。在本題的情境中，樣本大小從 $36$ 增加到 $144$，樣本數正好擴張為原來的 4 倍。由於樣本數位於分母且帶有根號，當 $n$ 變為 4 倍時，分母的 $\sqrt{n}$ 則會變為 $\sqrt{4} = 2$ 倍，進而導致整個誤差界限縮減為原本的一半，即：
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