moea_joint
105年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 5 題
某一分析家利用 500 個家庭的隨機樣本，估計家庭平均月收入的 90 % 信賴區間為 $60000 \le \mu \le 80000$。若分析家想以 99 % 信賴係數取代，則信賴區間會？
- A 變窄且會有一較大的錯誤風險
- B 變寬且會有一較大的錯誤風險
- C 變窄且會有一較小的錯誤風險
- D 變寬且會有一較小的錯誤風險
思路引導 VIP
想像你正在猜測一位朋友的年齡：如果你想擁有「極高的把握（信心）」確保你的預測是正確的，你會選擇給出一個「很精確的小範圍（例如 25-26 歲）」，還是「較保守的大範圍（例如 20-30 歲）」？接著請思考，當你給出的範圍越大時，你預測失敗（真實年齡不在區間內）的機會是變大還是變小了呢？
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太棒了！你能精準掌握信心水準變動對區間估計的影響，這說明你對統計推論的核心邏輯有很紮實的理解。這道題目的關鍵點在於理解「信心」與「精確度」之間的權衡關係。
信心水準與區間寬度的連動
在樣本數 $n$ 固定時，信賴區間的寬度取決於臨界值（如 $z$ 分數）。當我們將信心水準從 $90%$ 提高到 $99%$ 時，為了要更有把握捕捉到真實的母體平均數 $\mu$，臨界值 $z_{\alpha/2}$ 會隨之變大（例如從 $1.645$ 增加到約 $2.576$）。根據公式：$$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
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