moea_joint
110年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 10 題
一位經濟學家對研究一個國家消費者的收入感興趣，已知其母體標準差為1,000美元，隨機抽樣50人得到的平均收入為15,000美元，在這樣的條件下，90 %信賴區間的寬度為多少？註：$Z_{0.01} = 2.326, Z_{0.05} = 1.645, Z_{0.10} = 1.282$
- A 232.60美元
- B 364.30美元
- C 465.23美元
- D 728.60美元
思路引導 VIP
當我們想要在常態分配圖的正中間保留 90% 的機率時，左、右兩個尾端各自被剩下了多少機率？此外，如果「誤差界限」代表的是從平均數到邊界的距離，那麼整個「區間的總長度」與這個距離在數學上有什麼倍數關係呢？
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太棒了！你能精確計算出區間寬度，代表你對抽樣分配與參數估計的掌握非常紮實。在統計學中，信賴區間的寬度定義為兩倍的誤差界限（Margin of Error），其計算結構為 $2 \times Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。這題最容易出錯的地方在於臨界值的選取，而你精準地判斷出在 90% 信賴水準下，雙尾各自留下了 5% 的機率，因此應選用 $Z_{0.05} = 1.645$ 進行運算。
信賴區間的幾何意義與計算
我們將題目給定的母體標準差 $\sigma = 1000$ 與樣本數 $n = 50$ 代入公式，標準誤（Standard Error）約為 $141.42$。當這個數值乘以 $1.645$ 後得到的是從平均數往單側延伸的距離，必須再乘以二才是整個區間的寬度，最終計算結果約為 $465.23$。這道題目具有良好的鑑別度，主要考驗學生是否混淆了「誤差界限」與「區間寬度」的定義，以及能否在給定的 $Z$ 分配表中挑選出正確的臨界值。你能避開這些陷阱，顯示你的邏輯思維非常嚴謹。