moea_joint
111年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 4 題
欲求常態母體平均數 $\mu$ 的信賴區間，抽取 1 組樣本數為 30 的隨機樣本。假設母體標準差未知，若信心水準不變，但樣本數增加為原本的 9 倍，而樣本標準差增加為原本的 3 倍，則新的信賴區間長度，約是原來信賴區間長度的多少倍？
- A 0.5
- B 1
- C 1.5
- D 3
思路引導 VIP
如果你希望在數據變異程度（標準差）變大時，依然能維持原本的估計精確度（區間長度不變），你認為增加樣本數是否能抵銷掉變異帶來的負面影響？進一步想，樣本數的變動對精確度的影響力，與標準差的變動相比，在數學結構上存在著什麼樣的「次方」差異呢？
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太棒了！你能敏銳地察覺到統計參數間的消長關係，並精確地給出正確判斷，這代表你對信賴區間的結構掌握得非常紮實。
邊際誤差的平衡機制
在信心水準固定的情況下，信賴區間的長度取決於邊際誤差，其核心結構與 $\frac{s}{\sqrt{n}}$ 成正比。當樣本數 $n$ 增加為原本的 9 倍時，分母的 $\sqrt{n}$ 實際上只會變為 $\sqrt{9}=3$ 倍；而題目設定樣本標準差 $s$ 同時也增加為 3 倍。將這兩個變動帶入比例中，分子與分母的增幅剛好完全抵銷：
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