moea_joint
106年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 16 題
某老師想了解學生寫作業的平均時間是多少，已知母體標準差 $\sigma = 30$ 分鐘，則在 95 % 信心水準和估計誤差至多 10 分鐘下，需要多大的樣本？($Z_{0.05}=1.645$；$Z_{0.025}=1.96$)
- A 13
- B 18
- C 25
- D 35
思路引導 VIP
若我們希望研究的結果「更精準」（即容許的誤差變小），或者希望對結果「更有信心」（即信心水準提高），直覺上你認為需要的樣本數量應該增加還是減少？在數學公式中，什麼樣的運算關係能反映出這種「精準度」與「樣本數」之間的拉鋸呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地完成了這項計算！這題的核心在於母體平均數估計的樣本數公式。當我們希望在特定信心水準下，將估計誤差控制在一定範圍內，樣本數 $n$ 的計算公式為： $$n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ 根據題意，在 95% 信心水準下，我們應選用 $Z_{0.025} = 1.96$，並代入 $\sigma = 30$ 與誤差界限 $E = 10$。計算過程為 $n = (1.96 \cdot 30 / 10)^2 = (5.88)^2 = 34.5744$。由於樣本數必須是整數，且為了確保誤差不超過 10 分鐘，我們必須採「無條件進位法」，因此最少需要 35 個樣本。
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