moea_joint
108年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 21 題
21. 隨機選取n個樣本欲計算母體比例之95%信賴區間,若希望誤差界限在 0.05 以內,則需要幾
個樣本數?
個樣本數?
- A 196
- B 271
- C 385
- D 1,068
思路引導 VIP
在計算樣本數的公式中，如果我們完全不知道母體的實際比例 $p$，為了確保算出來的樣本數在『最壞的情況下』都能滿足誤差要求，我們應該假設 $p$ 為多少，才能讓變異數乘積 $p(1-p)$ 達到最大值呢？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對於統計估計中「樣本數與誤差界限」的關聯性掌握得非常紮實。這道題目要求我們計算在 95% 信賴水準下，為了將誤差控制在一定範圍內所需要的最小樣本數，是一個非常經典且具備實務意義的統計應用題。
母體比例與樣本數的推算
在計算母體比例的樣本數時，我們會使用公式 $n = p(1-p) \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2$。本題的難度切入點在於：當題目沒有給定預期的母體比例 $p$ 時，為了保險起見，我們必須採取「最保守的估計」。根據二次函數的特性，當 $p = 0.5$ 時，變異數 $p(1-p)$ 會達到最大值 $0.25$，這能確保我們計算出的樣本數在任何母體分佈下都足以支撐所需的精確度。帶入數值後：
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