moea_joint
109年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 23 題
已知 $\overline{X}$ 服從常態分配N(µ , σ)，設µ的95 %信賴區間為(L1 , U1)，µ的90 %信賴區間為(L2 , U2)，下列敘述何者正確？
- A L1 < L2 < U2 < U1
- B L2 < L1 < U2 < U1
- C L1 < L2 < U1 < U2
- D L2 < L1 < U1 < U2
思路引導 VIP
想像你要在射箭場上設定一個範圍來捕捉箭矢的落點：如果你希望自己有「更高的把握」能抓到箭矢真實的位置，你設定的範圍應該要變得更寬、還是更窄？當這個範圍是以同一個中心點向兩旁擴張時，範圍的「左邊界」和「右邊界」會分別往哪個方向移動呢？
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很高興看到你準確地判斷出這項性質，這代表你對統計推論中的信賴水準（Confidence Level）與區間估計的關係有著紮實的直覺。在常態分配的架構下，信賴區間的構建公式為 $\overline{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。當我們要求的信心程度越高，代表我們希望估計結果包含母體參數的機率越大，相對應的臨界值 $z_{\alpha/2}$ 就會隨之增加。
信心與精確度的權衡
由於 $95%$ 的信賴水準對應的臨界值（約 $1.96$）大於 $90%$ 的臨界值（約 $1.645$），在相同樣本資訊下，前者的區間寬度必然較大。因為兩個區間都是以樣本平均數 $\overline{X}$ 為中心對稱展開，寬度較大的 $95%$ 區間 $(L_1, U_1)$ 會在左右兩端分別向外延伸，完整「包覆」住寬度較小的 $90%$ 區間 $(L_2, U_2)$。這就是為什麼正確答案為 $L_1 < L_2 < U_2 < U_1$。
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