moea_joint
112年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 20 題
在一個盒中放 4 個球，編號分別為 1、2、3、4，自此盒中隨機抽出 2 球 (採抽出不放回法)，令 $X_1$、$X_2$ 為其編號數，且 $\bar{X} = (X_1+X_2)/2$，請問 $\bar{X}$ 之期望值與變異數分別為何？
- A 2.5, 0.42
- B 2.5, 6.45
- C 2.5, 2.5
- D 2.92, 2.92
思路引導 VIP
想像一下，如果你抽出的第一顆球是編號最大的 4，且不放回去，那麼盒子裡剩下的球會如何限制第二顆球的取值範圍？這種「剩餘選擇變少」的依賴關係，對於樣本平均數的波動程度（變異數），會產生增加還是減少的效果呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地完成了這道題目！這反映了你對抽樣分配的概念掌握得非常紮實。這題的核心在於理解樣本平均數的期望值與變異數。由於母體為 ${1, 2, 3, 4}$，其母體平均數 $\mu = 2.5$，而根據期望值的線性性質，不論抽樣方式為何，$E[\bar{X}]$ 始終等於母體平均數，這是你能快速判斷出正確數值的第一步。
有限母體下的變異數修正
這道題目的難度切入點在於「抽出不放回」的設定。在這種情境下，樣本觀測值之間並非相互獨立，因此在計算變異數時，不能直接套用無限母體的 $\sigma^2/n$，而必須引入有限母體校正因子 (FPC)。我們首先算出母體變異數 $\sigma^2 = 1.25$，接著將其代入修正公式：
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