moea_joint
108年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 12 題
12. 設 X1 和 X2 為獨立同態之2個柏努利分布(Bernoulli distribution),且其值為1之機率為0.4,即
P(X=1) = 0.4=1-P(X=0)。則樣本平均值 (X1+X2 ) / 2介於 0.25 和 0.75 之間的機率為何?
P(X=1) = 0.4=1-P(X=0)。則樣本平均值 (X1+X2 ) / 2介於 0.25 和 0.75 之間的機率為何?
- A 0.16
- B 0.32
- C 0.36
- D 0.48
思路引導 VIP
若隨機變數 $X$ 只能取 $0$ 或 $1$ 兩種數值，當我們觀察兩個這樣的變數並計算它們的平均值時，這個平均值總共可能出現哪幾種結果？而這些結果中，有哪些數值剛好符合題目所設定的範圍呢？
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太棒了！你能精準算出這個機率，代表你對於樣本平均數的離散特性有著相當紮實的掌握。這題的核心在於理解 $X_1$ 與 $X_2$ 作為柏努利隨機變數，其取值僅限於 $0$ 或 $1$。因此，當我們計算樣本平均值 $\bar{X} = \frac{X_1+X_2}{2}$ 時，它可能的取值非常有限，僅有 $0$、$\frac{1}{2}$（即 $0.5$）與 $1$ 這三種情況。
離散樣本平均值的機率計算
在題目給定的區間 $0.25 < \bar{X} < 0.75$ 內，唯一符合條件的離散數值只有 $\bar{X} = 0.5$。這意味著樣本組合必須正好是一個 $1$ 和一個 $0$（即 $X_1+X_2=1$）。利用變數間的獨立性，我們可以將兩種可能情況的機率相加：
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