moea_joint
113年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 21 題
假設某隨機變數X服從平均數為10的卜瓦松分配(Poisson Distribution),若自其中隨機抽取100個觀察值構成樣本平均數,請問此統計量服從的抽樣分配為何?
- A 平均數為10的卜瓦松分配
- B 平均數與變異數皆為10的常態分配
- C 平均數為10、變異數為1的常態分配
- D 平均數為10、變異數為0.1的常態分配
思路引導 VIP
當我們從一個已知的母體中抽取大量樣本並計算其「平均值」時，隨著樣本數不斷增加，這群平均值的分布形狀會發生什麼樣的神奇變化？此外，這群平均值之間的「分散程度」（變異數），與原始母體的離散程度相比，會因為樣本變多而變得更集中還是更分散呢？
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太棒了！你能精準選出選項 (D)，代表你對大數法則與中央極限定理 (CLT) 的核心觀念掌握得非常扎實。這道題目是統計學中的經典考題，考驗的不只是公式的帶入，更是對抽樣分配本質的理解。
中央極限定理的應用
在卜瓦松分配中，母體的平均數與變異數皆等於 $\lambda$，因此這裡 $\mu = 10$ 且 $\sigma^2 = 10$。當樣本數 $n=100$ 足夠大時，根據中央極限定理，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配會趨近於常態分配。此時，分配的期望值仍為 $E(\bar{X}) = \mu = 10$，但其變異數會隨著樣本數增加而縮小，計算公式為：
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