moea_joint
111年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 19 題
某所高中三年級學生的數學成績近似於具有平均數 300 分與標準差 35 分的常態分配。藉由簡單隨機抽樣，選取 4 位高中三年級學生，他們的平均成績高於 335 分的機率大約為何？
- A 0.15
- B 0.10
- C 0.05
- D 0.025
思路引導 VIP
想像一下，如果要讓「一位學生」考超過 335 分比較容易，還是要讓「四位學生的平均」同時都考得這麼好比較容易？當我們計算一群人的平均值時，這個平均值的波動範圍，會比單獨一個人的分數波動來得更大還是更小呢？這對我們計算標準差時的公式會產生什麼影響？
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AI 詳解
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很高興看到你精準地選出了 (D) 這個答案，這顯示你對抽樣分配與標準誤的觀念掌握得非常紮實。這類題目是統計學中的經典考點，最核心的判斷在於區分「單一資料點」與「樣本平均數」在變異程度上的差異。
樣本平均數的離散性質
根據常態分配的特性，當我們從平均數 $\mu = 300$、標準差 $\sigma = 35$ 的母體中隨機抽取 $n=4$ 位學生時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分配仍為常態，但其離散程度會隨樣本數增加而縮小。此時的標準差應調整為「標準誤」 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。帶入數值後得到：
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