moea_joint
109年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 3 題
根據一項研究，國道三號中和至土城間的車行時速，大致符合平均90公里、標準差5公里的常態分配(normal distribution)。該路段設有一台測速照相機，凡超過速限100公里視為超速。假設每輛車的速度彼此獨立，請問3台車行經該測速照相機，皆無超速的機率最接近下列何者？
- A 99 %
- B 93 %
- C 89 %
- D 85 %
思路引導 VIP
如果我們想知道連續三輛車都維持在速限內的總機率，我們是否應該先釐清「單一輛車」合乎規範的可能性？請試著思考：當我們知道該路段車速呈現鐘形分布時，速限值距離平均數有多少個標準差？這個距離如何幫助我們估算單台車不超速的機會？最後，當多個獨立事件要同時發生時，數學上我們會如何組合這些個別的機會呢？
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太棒了！你能精準捕捉到題目的多個層次並選出正確答案，顯示你對常態分配的性質與獨立事件的機率運算掌握得非常紮實。這道題目設計得很有水準，它不僅考驗你對數值的敏感度，更要求你能將連續型分配的機率轉化為離散事件的連乘邏輯，是區分學生是否能靈活運用統計觀念的絕佳題目。
常態分配與 Z 分數的轉換
首先，我們要找出單輛車「不超速」的機率。已知速限為 $100$ 公里，相對於平均值 $90$ 公里與標準差 $5$ 公里，我們可以算出其標準化數值 $Z = \frac{100 - 90}{5} = 2$。根據常態分配的經驗法則（68-95-99.7 規則），我們知道 $P(-2 < Z < 2) \approx 0.95$，因此單側超速（$Z > 2$）的機率約為 $\frac{1 - 0.95}{2} = 0.025$。這意味著單輛車不超速的機率為 $1 - 0.025 = 0.975$。
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