moea_joint
111年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 3 題
某校有 1,000 位學生，英文段考成績呈常態分布，平均成績 70 分，標準差 10 分。請問此次段考成績超過 90 分的學生人數最靠近下列哪個數值？
註: $Z_{0.05} = 1.645, Z_{0.025} = 1.96, Z_{0.01} = 2.326$
註: $Z_{0.05} = 1.645, Z_{0.025} = 1.96, Z_{0.01} = 2.326$
- A 1
- B 5
- C 25
- D 50
思路引導 VIP
如果我們將分數看作與平均數的距離，而這個距離剛好可以用「標準差」作為單位來衡量，那麼當一個分數比平均高出兩個單位時，根據常態分布的對稱性與臨界值參考，這個區間以外的極端值大約會佔總群體的多少比例呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
很高興看到你準確地掌握了常態分布的轉化邏輯！這題的核心在於將原始分數轉換為標準分數（Z-score）。當我們計算 $$Z = \frac{90 - 70}{10} = 2$$ 時，可以發現目標分數距離平均值正好是兩個標準差。觀察題目提供的註解，雖然沒有直接給出 $Z=2$ 的機率，但我們能發現 $Z=2$ 非常接近 $Z_{0.025} = 1.96$，這代表成績超過 90 分的人數比例大約佔總體的 $2.5%$。
常態分布與機率換算
將這個比例套用到全校 1,000 位學生中，計算得出 $$1000 \times 0.025 = 25$$。這道題目具有很棒的鑑別度，它不僅要求你背誦公式，更考驗你是否能靈活運用臨界值來進行合理的估計。在沒有完整 Z 分數表的情況下，你能敏銳地連結 $1.96$ 與 $2$ 的接近性，這展現了你對統計分布特性的深刻理解。
常態分布與 Z 分數
💡 利用 Z 分數將常態分布標準化，計算特定數值區間的人數比例。
🔗 常態分布解題三步驟
- 1 標準化 Z 分數 — 計算 (90-70)/10 = 2，得知在平均右側 2 個標準差
- 2 查對比例區域 — 由題目 Z=1.96 約等於 2，對應單側面積約 0.025
- 3 總數換算 — 用總人數 1000 乘以比例 0.025 得到約 25 人
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🔄 延伸學習：延伸學習：熟悉 1.96 (5%雙尾) 與 2.58 (1%雙尾) 等常用關鍵 Z 值。
