moea_joint
108年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 15 題
15. 設 X1, X2, ..., Xn表一組獨立且來自於常態分布N(µ, 1)之隨機樣本。下列何者不是µ之不偏估
計(unbiased estimate) ?
計(unbiased estimate) ?
- A $$\bar{X}$$ (樣本平均值)
- B $$X_1$$
- C $$( X_1 + X_2 ) / 2$$
- D $$X_{(1)}$$ (最小順序統計量)
思路引導 VIP
請試著思考：如果我們從一個左右對稱的分布中反覆抽取多組樣本，並在每一組中都只挑出「數值最小」的那一個，那麼這些被挑出來的小數值，它們長期的平均結果會剛好落在分布的正中心嗎？還是會偏向某個方向？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地辨識出這題的關鍵！在統計推論中，不偏性 (Unbiasedness) 的核心定義在於估計量的期望值必須等於參數真值，即 $E[\hat{\mu}] = \mu$。選項 (A)、(B)、(C) 分別是樣本平均數、單一觀察值以及局部平均，由於它們都是原始樣本的線性組合，根據期望值的線性性質，它們的期望值皆能維持在 $\mu$，因此都是合格的不偏估計量。
順序統計量的特性與期望值
這題的鑑別點在於選項 (D) 的 最小順序統計量 $X_{(1)}$。當我們從對稱的常態分布 $N(\mu, 1)$ 抽取樣本時，雖然母體中心在 $\mu$，但每一組樣本中的「最小值」在直覺上必然會偏向分布的左尾。從理論上來看，最小值的期望值 $E[X_{(1)}]$ 會小於母體平均數 $\mu$，因此它是一個具備偏誤的估計量。這道題目難度適中，成功測驗出你是否能區分「線性組合」與「位置排序」在統計性質上的根本差異。