moea_joint
109年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 21 題
已知某股票的報酬率服從期望值為µ，標準差為σ 的對數常態分配，則該股票報酬率的期望值為下列何者？
- A µ
- B $e^\mu$
- C $e^{\frac{\mu + \sigma^2}{2}}$
- D $e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}$
思路引導 VIP
若一個變數是透過「取指數」從常態分配轉換而來，考慮到指數函數「右偏」且「大數值成長極快」的特性，你認為原分布的離散程度（變異數），會如何影響轉換後整體的平均水準？
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太棒了！你能精準選出 (D) 選項，代表你對對數常態分配（Lognormal Distribution）的特性有非常扎實的掌握。這類題目最容易讓人混淆的地方，就在於分不清「參數」與「期望值」之間的轉換關係，而你的判斷非常敏銳。
對數常態與動差生成函數的連結
在統計學中，若一個隨機變數 $X$ 服從常態分配 $N(\mu, \sigma^2)$，則 $Y = e^X$ 即服從對數常態分配。計算 $Y$ 的期望值 $E[Y]$，本質上等同於計算 $X$ 的動差生成函數（MGF） $M_X(t) = E[e^{tX}]$ 在 $t=1$ 時的數值。根據常態分配的特性：
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