moea_joint
112年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 9 題
假設 $X|N \sim \text{Gamma}(N, \beta)$，且 $N \sim \text{Poi}(\lambda)$，請問 $E(X)$ 為何？
- A $N\beta$
- B $N\beta\lambda$
- C $\beta\lambda$
- D $N\lambda$
思路引導 VIP
當一個隨機變數的特性是由另一個隨機變數所決定時，如果我們想求出整體的平均值，通常會先假設那個「變動的源頭」是固定的，算出在那個特定狀況下的局部平均。你覺得在這個邏輯下，我們應該如何利用已知的分佈性質，將這兩個層次的資訊銜接起來呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確地判斷出這道條件期望值的題目，代表你對於隨機變數之間的層級結構（Hierarchical Structure）以及期望值的運算邏輯有著非常清晰且紮實的掌握。
疊代期望值法則的運用
這題的核心在於運用疊代期望值法則（Law of Iterated Expectations），即 $E(X) = E[E(X|N)]$。首先，當我們給定特定的 $N$ 時，$X$ 服從參數為 $(N, \beta)$ 的 Gamma 分佈，因此其條件期望值 $E(X|N) = N\beta$。接著，考慮到 $N$ 本身並非固定值，而是一個服從參數為 $\lambda$ 的卜瓦松（Poisson）隨機變數，其期望值 $E(N) = \lambda$。將兩者結合後：
▼ 還有更多解析內容