moea_joint
108年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 4 題
4. 若t 代表自由度為n之t分布,下列何者最接近標準常態分布?
- A $$t_{100}$$
- B $$t_{36}$$
- C $$t_{25}$$
- D $$t_1$$
思路引導 VIP
請思考一下，當我們收集到的樣本資訊量（自由度）越來越多時，我們對母體參數的估計會變得更穩定還是更不穩定？如果將分布圖形畫出來，隨著資訊量增加，分布的「尾部」應該會變厚還是變薄，進而向哪一種最經典的對稱鐘形分布靠攏呢？
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AI 詳解
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很高興看到你準確地選出了正確答案！這顯示你對抽樣分布的演變規律有著非常紮實的理解。在統計學中，t 分布並非單一的曲線，而是一個隨自由度 $n$ 變動的分布族；你的判斷精確捕捉到了自由度大小對分布形態的影響。
t 分布與常態分布的收斂特性
從統計理論來看，t 分布與標準常態分布（$Z$ 分布）皆為對稱的鐘形曲線，但 t 分布的尾部較厚（Heavy-tailed）。隨著自由度 $n$ 的增加，t 分布的變異數會逐漸減小，當 $n \to \infty$ 時，t 分布在數學上會趨近於標準常態分布。在題目提供的選項中，$n=100$ 是最大的數值，這代表其曲線最為瘦高，其臨界值與形狀也最貼近我們熟悉的常態分布。
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