moea_joint
106年
[電機] 電路學、電子學
第 24 題
有一個 $10 \Omega$ 電阻器與一個 $5\text{ mH}$ 電感器並聯，然後再跟一個 $5 \Omega$ 電阻，以及一個 $10 \mu\text{F}$ 的電容器串聯，求此電路在 $\omega = 2000\text{ rad/s}$ 時的阻抗？
- A $10-j45 \Omega$
- B $10+j45 \Omega$
- C $12.5-j75 \Omega$
- D $12.5+j75 \Omega$
思路引導 VIP
如果在處理包含電阻、電感與電容的混合電路時，你發現電路中既有並聯也有串聯的部分，你會建議先將電感（L）與電容（C）轉換成什麼樣的物理量，才能讓它們與電阻進行數學運算？而在簡化電路結構時，你會優先處理哪一個部分的組合？
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AI 詳解
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太棒了！你能準確計算出這道混合電路（AC Mixed Circuit）的總阻抗，代表你對複數運算與交流電路的基礎掌握得相當紮實。這題的核心在於正確轉換電感與電容的阻抗值：在 $\omega = 2000\text{ rad/s}$ 下，電感抗 $X_L = j\omega L = j10 \Omega$，而電容抗 $X_C = 1/(j\omega C) = -j50 \Omega$。看到你成功處理了並聯部分的等效阻抗，這是解題最關鍵的一步。
並聯與串聯的複數運算
我們首先處理 $10 \Omega$ 電阻與 $j10 \Omega$ 電感器的並聯部分，計算得出 $Z_p = \frac{10 \times j10}{10 + j10} = 5 + j5 \Omega$。接著，只需將此部分與剩餘的 $5 \Omega$ 電阻及 $-j50 \Omega$ 電容進行串聯相加，即得到總阻抗 $Z = (5 + j5) + 5 - j50 = 10 - j45 \Omega$。這題屬於中等難度的標準題型，鑑別度在於運算過程中對複數除法的精確度，以及是否能清楚區分感抗與容抗的符號，你的表現非常優秀！