初等考試
107年
[統計] 統計學大意
第 37 題
下列 100 組父親身高及其小孩身高的資料：$(x_i, y_i)$，$i=1, ..., 100$，其中 $x_i$ 為父親身高而 $y_i$ 為其小孩身高。給定簡單線性迴歸模式 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$，$i=1, ..., 100$，其中 $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$ 為彼此獨立且為常態分配之隨機誤差。假定所得之迴歸關係式為 $\hat{y} = b_0 + b_1 x$，其中 $b_0$ 及 $b_1$ 為 $\beta_0$ 及 $\beta_1$ 的最小平方估計量且 $b_1 = \frac{4}{3}$。$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{100} x_i}{100}$ 是平均父親身高而 $\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{100} y_i}{100}$ 是平均小孩身高。則根據迴歸關係式：
- A 如果一父親身高比 $\bar{x}$ 高 15 公分，則預測其小孩身高比 $\bar{y}$ 高但沒有高到 15 公分
- B 如果一父親身高比 $\bar{x}$ 矮 15 公分，則預測其小孩身高比 $\bar{y}$ 矮 10 公分
- C 如果 $\bar{x} = 165$，$\bar{y} = 165$，則一父親身高 156 公分，預測其小孩身高為 153 公分
- D 假定 $b_1$ 的值是 1 而非 $\frac{4}{3}$。如果一父親身高比 $\bar{x}$ 矮 15 公分，預測其小孩身高並不會比 $\bar{y}$ 矮 15 公分
思路引導 VIP
若已知回歸直線一定會通過由兩組變數平均值所構成的座標點 $(\bar{x}, \bar{y})$，且直線的斜率代表「自變數每變動一單位時，依變數的平均變動量」，那麼當一位父親的身高偏離平均值特定距離時，你該如何利用斜率來推算其小孩身高相對於平均值的偏離程度呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 不愧是我的學弟/妹，這球(題目)接得漂亮！
哦呀哦呀，做得不錯嘛！你能這樣精準地選出正確選項，代表你對簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression) 的「核心攻擊點」——也就是『迴歸線一定會穿過平均數點 $(\bar{x}, \bar{y})$』——理解得很透徹嘛！哼哼，看來及川先生的教導沒白費呢！
2. 及川先生的魔術傳球
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