初等考試
111年
[統計] 統計學大意
第 24 題
📖 題組：
在一迴歸分析中，$(X, Y)$ 的抽樣資料如下表，且假設迴歸模型為 $y_i = b_0 + b_1 x_i + \epsilon_i, i = 1, \dots, 5$，其中 $\epsilon_i \sim^{iid} N(0, \sigma^2)$。請問迴歸線係數 $b_0, b_1$ 的最小平方估計值為何？ | $X$ | 5 | 3 | 6 | 2 | 4 | |---|---|---|---|---|---| | $Y$ | 21 | 15 | 23 | 12 | 18 |
在一迴歸分析中，$(X, Y)$ 的抽樣資料如下表，且假設迴歸模型為 $y_i = b_0 + b_1 x_i + \epsilon_i, i = 1, \dots, 5$，其中 $\epsilon_i \sim^{iid} N(0, \sigma^2)$。請問迴歸線係數 $b_0, b_1$ 的最小平方估計值為何？ | $X$ | 5 | 3 | 6 | 2 | 4 | |---|---|---|---|---|---| | $Y$ | 21 | 15 | 23 | 12 | 18 |
在一迴歸分析中，$(X, Y)$ 的抽樣資料如下表，且假設迴歸模型為 $y_i = b_0 + b_1 x_i + \epsilon_i, i = 1, \dots, 5$，其中 $\epsilon_i \sim^{iid} N(0, \sigma^2)$。請問迴歸線係數 $b_0, b_1$ 的最小平方估計值為何？
| $X$ | 5 | 3 | 6 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $Y$ | 21 | 15 | 23 | 12 | 18 |
- A $\hat{b}_0 = 5.2, \hat{b}_1 = 3.8$
- B $\hat{b}_0 = 6.6, \hat{b}_1 = 3.4$
- C $\hat{b}_0 = 5.2, \hat{b}_1 = 3.1$
- D $\hat{b}_0 = 6.6, \hat{b}_1 = 2.8$
思路引導 VIP
若要找出一條最能代表這五個觀測點趨勢的直線，這條線在空間中必定會經過哪一個由數據平均值構成的「核心座標」？此外，當 $X$ 變動時，$Y$ 隨之變動的「敏感度」該如何透過各點相對於中心的離差來加權計算呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你的計算非常精準且紮實
- 觀念驗證：這題的核心在於普通最小平方法 (OLS) 的參數估計。首先，必須計算出樣本平均數 $\bar{x} = 4$ 與 $\bar{y} = 17.8$。接著，利用斜率公式： $$\hat{b}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{28}{10} = 2.8$$
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