地特三等申論題
107年
[土木工程] 靜力學與材料力學
第 二 題
一固體材料承受多軸應力作用，如圖二所示，其中 $\sigma_{11} = 11$ MPa，$\sigma_{22} = \sigma_{33} = 4$ MPa，$\tau_{23} = 5$ MPa，於此多軸應力作用下，求此固體材料所承受之最大剪應力。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到多軸應力求最大剪應力，首先應將應力狀態寫成三維應力張量矩陣。接著找出三個主應力（特徵值），最後利用三維絕對最大剪應力公式 $\tau_{max} = (\sigma_{max} - \sigma_{min})/2$ 即可求解。
三維絕對最大剪應力
💡 藉由求取三個主應力並排序，以最大與最小差值之半計算絕對最大剪應力。
🔗 絕對最大剪應力求解路徑
- 1 建構應力張量 — 依題意填入正向應力與剪應力分量矩陣
- 2 求解主應力 — 利用特徵方程或平面應力公式求出三個主值
- 3 主應力排序 — 將 $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_c$ 依大小排列找出 $\sigma_1, \sigma_3$
- 4 計算 $\tau_{max}$ — 使用三維莫耳圓半徑公式求得最終答案
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：主應力狀態常用於判斷延性材料的剪切破壞。
