地特四等申論題
107年
[機械工程] 機械力學概要
第 三 題
📖 題組：
簡支梁受兩個 1 kN 集中力作用如下右圖，梁之截面如 I 形，截面尺寸如下左圖。試求： (一)梁之截面對 x 軸之面積慣性矩。（5 分） (二)梁之剪力圖。（5 分） (三)梁之彎矩圖。（5 分） (四)梁中最大之彎曲應力。（5 分） (五)如該梁之 I 形截面改為同面積之正方形截面，則梁中最大之彎曲應力會如何變化，請說明原因。（5 分）
簡支梁受兩個 1 kN 集中力作用如下右圖，梁之截面如 I 形，截面尺寸如下左圖。試求： (一)梁之截面對 x 軸之面積慣性矩。（5 分） (二)梁之剪力圖。（5 分） (三)梁之彎矩圖。（5 分） (四)梁中最大之彎曲應力。（5 分） (五)如該梁之 I 形截面改為同面積之正方形截面，則梁中最大之彎曲應力會如何變化，請說明原因。（5 分）
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (三)
梁之彎矩圖。（5 分）
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繪製彎矩圖 (BMD) 前，需先利用靜力平衡求出支承反力，或直接由前一子題的剪力圖 (SFD) 面積進行積分。此題為典型的對稱載重，中央區段剪力為零，該區段將呈現純彎曲（彎矩為定值），作圖時務必標示各轉折點的位置與彎矩極值。
小題 (一)
梁之截面對 x 軸之面積慣性矩。（5 分）
思路引導 VIP
遇到複合截面求面積慣性矩的題型，應先確認目標軸（x 軸）是否為形心軸。本題 x 軸恰為對稱形心軸，推薦使用「大矩形減去小矩形（挖空法）」以避開繁瑣的平行軸定理計算並降低出錯率；當然，採用「分割法搭配平行軸定理」亦能求得相同答案。最後務必標註正確的四次方單位（如 cm⁴ 或 m⁴）。
小題 (二)
梁之剪力圖。（5 分）
思路引導 VIP
繪製剪力圖的第一步是利用靜力平衡或對稱性求出兩端支承反力。接著從梁的左端向右端推導，遇到向上的力剪力圖往上畫，遇到向下的集中負載則往下畫，無負載區段維持水平直線。
小題 (四)
梁中最大之彎曲應力。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗彈性彎曲應力公式 $\sigma = My/I$的應用。解題時應先從彎矩圖找出梁的最大彎矩 M_{max}，接著確認已求得的截面慣性矩 I_x 與最外緣距離 c，最後將所有參數統一單位（建議使用 N 與 mm 系統）代入公式計算。
小題 (五)
如該梁之 I 形截面改為同面積之正方形截面，則梁中最大之彎曲應力會如何變化，請說明原因。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗截面性質對彎曲應力的影響。看到題目應立即聯想彎曲應力公式 σ = M/S，並思考 I 形截面與正方形截面在「相同面積」下，材料分布（遠離或靠近中立軸）對剖面模數 S (S=I/c) 的巨大差異，進而判斷應力的變化。
梁之彎矩圖與應力分析
💡 利用剪力圖面積法推導彎矩，並結合截面性質求得最大彎曲應力。
🔗 簡支梁彎矩與應力解題流程
- 1 求支承反力 — 依平衡條件求得支座反力 $R_L, R_R$。
- 2 繪製剪力圖 (SFD) — 依外力分布繪製剪力變化，注意正負方向。
- 3 積分求彎矩 (BMD) — 計算剪力圖面積，繪製彎矩圖並找最大值 $M$。
- 4 截面性質與應力 — 計算慣性矩 $I$，代入 $\sigma = My/I$ 求最大應力。
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🔄 延伸學習：延伸學習：比較不同截面形狀（如 I 形 vs. 正方形）對抗彎強度（斷面係數 $S$）的影響。
