高考申論題
107年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 一 題
📖 題組：
二、
二、
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求通過 $z = f(x,y) = x^3 - 4xy - y^2 + y + 7$ 之圖形上一點 $(1, 2, -2)$ 之法線（normal line）方程式。（10 分）
思路引導 VIP
看到求曲面法線方程式，應立即想到利用「梯度（Gradient）」求法向量。將給定的顯函數改寫為隱函數 F(x,y,z)=0，計算其在給定點的偏微分取得梯度 ∇F 作為方向向量，最後代入空間直線的對稱比例式或參數式即可完成。
小題 (二)
求三重積分（triple integral） $\iiint_R xy \, dV$ 之值，其中 $R$ 為上半單位球 $R = \{(x,y,z) | 0 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 1, z \ge 0\}$。（15 分）
思路引導 VIP
看到積分區域為對稱圖形（上半球體），首先應檢查被積函數 $f(x,y,z)=xy$ 是否具備奇偶對稱性以簡化計算。若要直接計算，則應採用球座標轉換（Spherical Coordinates）將直角座標轉換為極座標系，並準確設定積分的上下限。