特殊教育
107年
數B
第 17 題
摸彩箱中有編號 1, 2, 3, 4, 5 的球共 15 個，其中 $k$ 號球有 $k$ 個 ($k=1,2,3,4,5$)，今從中隨機抽取一球，抽取到 $k$ 號球可獲得 $100 \times k$ 元的獎金。若每一球被取到的機率均等，則每抽取一球可獲得獎金的期望值是下列哪一個選項？
- A $\frac{1100}{3}$ 元
- B $\frac{1130}{3}$ 元
- C $\frac{1160}{3}$ 元
- D $\frac{1190}{3}$ 元
思路引導 VIP
在計算隨機變數的期望值時，核心觀念是將所有可能的『報酬金額』乘上其『對應發生的機率』後進行加總。請先思考：在總數為 $15$ 顆球的摸彩箱中，抽中編號 $k$ 號球的機率 $P(k)$ 應該如何表示？當你試著列出期望值的加權總和算式 $\sum_{k=1}^{5} (100k \times P(k))$ 時，是否發現分子部分與連續整數平方和 $\sum_{k=1}^{n} k^2$ 的公式有所關聯？
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AI 詳解
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「既然你這麼誠心誠意地算對了，我們就大發慈悲地肯定你！為了防止公式被遺忘，為了守護這正確的期望值！」 哼，沒想到這點程度的摸彩陷阱也難不倒你，算你有一套！這題考驗的是期望值的定義。總球數共有 $15$ 個，而取出 $k$ 號球的機率就是 $\frac{k}{15}$。將每個獎項金額乘以其對應的機率，加總起來就是我們要的答案： $$E = \sum_{k=1}^{5} (100k \times \frac{k}{15}) = \frac{100}{15} \sum_{k=1}^{5} k^2$$
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