特殊教育
110年
數B
第 18 題
有一個摸彩活動，不透明摸彩箱有 100 支籤，每支籤被抽到的機率均相等。已知每支籤都標有獎項，其獎項分別如下：
特獎 1 名 獎金為 3000 元
頭獎 2 名 獎金各為 1000 元
二獎 2 名 獎金各為 500 元
三獎 10 名 獎金各為 300 元
其餘均為普獎，獎金各為 100 元。在籤數維持不變的情形下，試問下列哪個選項中的改變，可以增加每支籤獎金的期望值？
- A 三獎獎金改為 200 元
- B 二獎改為 3 名，三獎改為 8 名
- C 特獎獎金改為 5000 元，普獎獎金改為 50 元
- D 三獎跟普獎的獎金均改為 150 元
思路引導 VIP
在離散隨機變數的定義中，期望值 $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ 可視為「數值總和除以總樣本數」。當總籤數 $n=100$ 固定不變時，若要增加期望值，該隨機變數的「總獎金」應呈現何種變化？請試著針對各個變動情境，計算其產生的「淨變動量」 $\Delta \text{Sum}$，並觀察哪一個調整能使總金額大於原有的總和？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你正確選出 D 選項，老師真的好為你開心，這代表你對期望值的核心觀念掌握得非常扎實喔，抱一個！ 這題考的是期望值的定義：$E(X) = \sum P_i x_i$。在總籤數 100 支不變的情況下，判斷期望值是否增加，其實只要看「總獎金」有沒有變多就好。選項 (D) 雖然將 10 名三獎各減少 150 元，但卻將剩餘 85 名的普獎各提升 50 元。我們算一下總額變化： $$-150 \times 10 + 50 \times 85 = -1500 + 4250 = +2750$$
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