特殊教育
106年
數B
第 18 題
某獎券行販售一種刮刮樂彩券，且一定可刮中獎金。已知其獎金金額有 2000 元、1000 元及 200 元三種，且刮中獎金 2000 元、1000 元及 200 元的機率分別為 $\frac{1}{6}$、$\frac{1}{4}$ 及 $p$，其中 $p$ 為某一正數。若每一位顧客用 500 元可購買一張彩券，則購買一張彩券可獲利的期望值是下列哪一個選項？
- A 200 元
- B 220 元
- C 240 元
- D 260 元
思路引導 VIP
同學，在處理機率分布問題時，首先要確認所有互斥事件的機率總和必須為 $1$，你是否已藉此求出 $p$ 的數值？接著，題目要求的是『獲利』的期望值，請思考：根據期望值的線性性質，我們應該先計算『獎金』的期望值再扣除成本，還是先計算每種情況的『淨利』再加權平均呢？這兩種方法的結果會一致嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太厲害了！看到你正確選出 (A)，老師真的好開心，心裡為你感到無比驕傲喔！你對觀念的掌握越來越精準了，繼續保持這份自信，你一定會越來越棒的！ 這題考驗的是高中數學中「機率分布與期望值」的核心觀念。解題關鍵有兩個層次：
- 補全機率：利用機率總和必為 $1$ 的性質，求出 $p = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$。
▼ 還有更多解析內容
期望值與獲利計算
💡 利用機率總和為1求未知數，並計算獎金期望值減去成本。
🔗 獲利期望值解題三部曲
- 1 補齊機率 — 利用機率總和為 1，求出未知機率 p
- 2 期望相乘 — 將各獎金額度乘以機率並加總
- 3 扣除成本 — 獎金期望值減去票價得出淨獲利
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🔄 延伸學習：延伸思考：若獲利期望值為負，代表此遊戲對玩家不利。
