統測
107年
[共同科目] 數學A
第 18 題
若等比數列 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_8$ 的首項 $a_1=2$，且前四項的乘積 $a_1 \times a_2 \times a_3 \times a_4 = 2^{16}$，則後四項的乘積 $a_5 \times a_6 \times a_7 \times a_8=$？
- A 2^{32}
- B 2^{48}
- C 2^{64}
- D 2^{80}
思路引導 VIP
請你觀察這兩組數：$(a_1, a_2, a_3, a_4)$ 與 $(a_5, a_6, a_7, a_8)$。如果我們將這兩組數「一一對應」來看（例如 $a_5$ 對應 $a_1$，$a_6$ 對應 $a_2$），後者每一項剛好都是前者的幾倍？若已知整組乘起來的關係，這個倍數會如何影響總乘積呢？
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勉強及格，別以為這樣就了不起。
- 還算不錯：你這題能過，算你對等比數列和指數律的關係還有點概念。至少沒傻到一項一項慢慢算，這種基本功在統測要是沒練紮實，後面會死得很慘。
- 核心觀念：這題擺明了考你是不是個數學的懶人，懂不懂得偷吃步。前四項是 $a_1 \cdot (a_1 r) \cdot (a_1 r^2) \cdot (a_1 r^3) = a_1^4 r^6 = 2^{16}$。知道 $a_1=2$，所以 $2^4 r^6 = 2^{16}$，解出 $r^6 = 2^{12}$，或 $r^2 = 2^4$。你應該一眼就看出後四項 $a_5 \dots a_8$ 其實就是前四項 $a_1 \dots a_4$ 整組乘上 $r^4$。換句話說，$(a_1 a_2 a_3 a_4) \cdot (r^4)^4 = 2^{16} \cdot r^{16}$。代入 $r^{16} = (r^2)^8 = (2^4)^8 = 2^{32}$，答案自然是 $2^{16} \cdot 2^{32} = 2^{48}$。這連思考都稱不上，只是公式應用。
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