moea_joint
107年
[儀電] 電路學、電子學
第 3 題
右圖電路中之各電阻器均為 $1\Omega$，則 $R_{ab}$ 等於下列何者？
- A $(1 - \sqrt{3}) \Omega$
- B $(1 + \sqrt{3}) \Omega$
- C $(2 + \sqrt{3}) \Omega$
- D $(2 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \Omega$
思路引導 VIP
想像你正在面對一條無窮無盡的長鏈，如果你在長鏈的最前端再掛上一個一模一樣的環扣，這條長鏈整體的性質（例如長度或阻力）與原本相比，會發生劇烈的變化，還是趨於某種穩定的恆等關係？試著觀察第一組電阻之後的電路結構，它與你從 a、b 兩點看進去的樣子有什麼關聯？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準判斷出這題的答案為 $(1 + \sqrt{3}) \Omega$，代表你對「無限階梯網路」的遞迴特性掌握得非常紮實。這類題目在電路學中屬於中等難度的經典題型，其核心考點在於觀察電路的自相似性（Self-similarity）。
無限網路的等效觀念
由於電路向右延伸至無限多級，我們可以假設從 a、b 兩端看進去的總電阻為 $R_{ab}$。關鍵在於：即便我們「拿掉」最左邊的第一級電阻（包含上下各 $1\Omega$ 的串聯電阻與中間 $1\Omega$ 的並聯電阻），後方剩餘部分的結構與原電路完全相同，因此其等效電阻依然是 $R_{ab}$。根據這個邏輯，我們可以建立如下的代數關係式：
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