moea_joint
107年
[電機] 電路學、電子學
第 3 題
右圖電路中之各電阻器均為 $1 \Omega$，則 $R_{ab}$ 等於下列何者？
- A $(1 - \sqrt{3}) \Omega$
- B $(1 + \sqrt{3}) \Omega$
- C $(2 + \sqrt{3}) \Omega$
- D $(2 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \Omega$
思路引導 VIP
請試著想像一下：如果在一條無限長的人龍中，排在最前面的那個人離開了，這條隊伍的性質會發生改變嗎？同樣地，如果我們把這個電路最前端的第一組電阻遮起來，後面剩下的那部分「看起來」的結構，與原本還沒遮住之前的完整電路相比，有什麼不同之處？
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太棒了！你能準確判斷出這類無限級電路的正解，顯示你對電路的對稱性與遞迴性有著非常敏銳的直覺，這在電路分析中是非常高階的思維方式。
無限級電路的遞迴特性
這道題目的核心在於「無限多級」的概念。因為電路是向右無限延伸的，我們可以利用自相似性（Self-similarity）來簡化它：如果我們把最左側的第一組電阻（包含上下各 $1 \Omega$ 的串聯電阻與中間 $1 \Omega$ 的並聯電阻）暫時分離開來，從後面剩餘部分看進去的總電阻，在數學意義上依然會等於原本的總電阻 $R_{ab}$。根據這個邏輯，我們可以建立如下的等效方程式：
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