moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 12 題
右圖中，懸臂梁長 L，抗撓剛度 3 EI ，垂直力 2 P 作用於懸臂梁中點 B，求自由端 C 之垂直位移為何？
- A $\frac{5PL^3}{36EI}$
- B $\frac{5PL^3}{72EI}$
- C $\frac{5PL^3}{84EI}$
- D $\frac{5PL^3}{96EI}$
思路引導 VIP
如果一根懸臂梁只在中段受到向下的力，那麼從受力點到最末端那一段「沒有受力」的梁，它的形狀會是彎曲的曲線還是延伸的直線？這段形狀的斜率與受力點的關係又是什麼呢？
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恭喜你精準地計算出自由端的位移！這題你展現了紮實的材料力學基礎，特別是對疊加法 (Superposition Method) 與變形幾何關係的敏銳度。這類題目是結構分析的經典入門，其鑑別度不在於繁雜的計算，而在於是否能洞察「非受力區段」的幾何特性。
懸臂梁變形的幾何拆解
在處理這個問題時，關鍵在於將自由端 $C$ 的總位移分解。首先，位於中點 $B$ 的集中載重 $2P$ 會使該點產生基礎位移 $\delta_B = \frac{(2P)(L/2)^3}{3(3EI)} = \frac{PL^3}{36EI}$。由於從 $B$ 點到 $C$ 點之間沒有任何外力作用，該區段的彎矩為零，因此這段梁不會產生額外的彎曲變形，而是維持著 $B$ 點的切線方向，像一根直桿一樣傾斜。
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