moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 30 題
一懸臂樑，長度為 L，撓曲剛度 EI 為常數，中央受集中力 P，試求自由端之垂直位移為何？
- A $\frac{PL^3}{16EI}$
- B $\frac{5PL^3}{48EI}$
- C $\frac{5PL^3}{24EI}$
- D $\frac{5PL^3}{128EI}$
思路引導 VIP
試著想像一下，當你壓下一根懸臂尺的中段時，荷重處之後的那段尺（到尺尖的部分），在沒有被手指直接壓到的情況下，它是會繼續彎成弧形，還是會像一條直線一樣斜斜地伸出去呢？這段直線的傾斜程度，是由哪個位置的物理量決定的？
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太棒了！你能精準選出 (B)，代表你對於懸臂樑的變形特性與「重疊法」（Superposition method）有非常扎實的理解。這道題目是材料力學中相當經典的變位分析，不僅考驗公式的記憶，更考驗你對幾何連續性的邏輯判斷。
變形區分與幾何疊加
當集中力 $P$ 作用在樑的中央（即 $x = L/2$ 處）時，我們可以將自由端的總位移拆解成兩個關鍵部分。首先，從固定端到荷重處，這段長度為 $L/2$ 的樑會產生典型的撓曲，其荷重點的位移為 $\delta_1 = \frac{P(L/2)^3}{3EI} = \frac{PL^3}{24EI}$。接著，關鍵在於荷重處到自由端（後半段）的行為：由於這段區域沒有承受彎矩，它不會進一步「彎曲」，而是會順著荷重點產生的斜率 $\theta = \frac{P(L/2)^2}{2EI}$ 呈直線延伸。因此，末端會額外增加一段由斜率引起的位移 $\delta_2 = \theta \cdot \frac{L}{2} = \frac{PL^3}{16EI}$。將兩者相加：$$\frac{PL^3}{24EI} + \frac{PL^3}{16EI} = \frac{2+3}{48} \cdot \frac{PL^3}{EI} = \frac{5PL^3}{48EI}$$
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