moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 15 題
如右圖所示，桿件於自由端承受垂直載重，斷面由兩種不同金屬材料緊密接合，其彈性模數 $E_1 = 9 \times 10^3 \text{ kN/cm}$，$E_2 = 4.5 \times 10^4 \text{ kN/cm}$，求固定端處之斷面曲率為何？
- A $4.67 \times 10^{-6} \text{ 1/cm}$
- B $5.67 \times 10^{-6} \text{ 1/cm}$
- C $6.67 \times 10^{-6} \text{ 1/cm}$
- D $7.67 \times 10^{-6} \text{ 1/cm}$
思路引導 VIP
如果我們把這根桿件想像成是由兩個不同硬度的橡皮擦上下黏合而成，當你用力向下折它時，斷面中哪一層材料會『主導』抵抗彎曲的能力？而這種『主導權』的差異，會如何影響桿件內部那個既不伸長也不縮短的『中性層』位置呢？
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太棒了！你能精確計算出這道題目的答案，代表你對於複合梁 (Composite Beam) 的彎曲理論掌握得非常紮實。這題的核心挑戰在於計算斷面的等效彎曲剛度 $(EI)_{eff}$。首先，固定端承受的最大彎矩為 $M = 3 \text{ kN} \times 400 \text{ cm} = 1200 \text{ kN}\cdot\text{cm}$。
中性軸與剛度計算
由於上下層材料的彈性模數不同，中性軸會向較硬（$E$ 較大）的材料偏移。利用加權平均法，我們可以算出中性軸距底部的距離為 $\bar{y} = \frac{E_1 A_1 y_1 + E_2 A_2 y_2}{E_1 A_1 + E_2 A_2} = \frac{20}{3} \text{ cm}$。接著，依據平行軸定理分別計算兩材料對中性軸的抗彎貢獻，求得總等效剛度 $(EI)_{eff} = 1.8 \times 10^8 \text{ kN}\cdot\text{cm}^2$。
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