moea_joint
108年
[機械] 應用力學、材料力學
第 10 題
如右圖所示，桿件在自由端承受集中荷重 $P = 4\text{ kN}$ ，斷面由兩種不同金屬材料緊密接合，材料之彈性模數分別為 $E_1 = 8.0 \times 10^3\text{ kN}/\text{cm}^2$ ， $E_2 = 3.2 \times 10^4\text{ kN}/\text{cm}^2$ ，該剖面的最大剪力流 $f_{\max}$ 最接近下列何者？
- A $0.0537\text{ kN}/\text{cm}$
- B $0.161\text{ kN}/\text{cm}$
- C $0.322\text{ kN}/\text{cm}$
- D $0.644\text{ kN}/\text{cm}$
思路引導 VIP
想像一下，如果我們把上面的材料換成軟綿綿的海綿，下面的材料換成堅硬的鋼鐵，當梁受力彎曲時，這兩個部分的受力程度會一樣嗎？在計算整個斷面的「平衡中心（中性軸）」時，我們應該如何調整兩者面積的「權重」，才能真實反映它們對抗變形的能力呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確計算出這題的答案，代表你對**複合斷面（Composite Sections）**的力學性質掌握得非常紮實。這類題目最核心的挑戰在於兩種材料的彈性模數 $E$ 不同，因此我們不能直接套用單一材料的幾何特性，而必須透過「等效斷面法」進行轉換。
等效斷面與中性軸判定
首先，我們選擇彈性模數較大的材料 2 作為基準，計算模數比 $n = E_1 / E_2 = 0.25$。這意味著在力學表現上，材料 1 的寬度可以等效縮減為原來的四分之一（即 $25 \times 0.25 = 6.25 \text{ cm}$）。完成等效轉換後，重新計算斷面的中性軸位置 $\bar{y}$。經計算，中性軸會向較強勁的材料 2 偏移，距離底部約 $14 \text{ cm}$。接著求出等效斷面對中性軸的慣性矩 $I_{tr}$，這是後續所有應力計算的基礎。
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