moea_joint
111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 7 題
如右圖所示，一簡支樑係由A、B兩種材料緊密結合，已知材料A彈性模數$E_A=70\text{ GPa}$，材料B彈性模數$E_B=210\text{ GPa}$，試求該斷面的最大彎曲應力值為何？
- A 273.6 MPa
- B 364.8 MPa
- C 475.2 MPa
- D 521.3 MPa
思路引導 VIP
當一根樑是由兩種剛性（彈性模數）不同的材料上下疊合而成時，為了能套用單一材料的彎曲公式，我們通常會將其中一種材料的「寬度」進行縮放。請試著思考：為了維持整體的抗彎能力不變，剛性越強（$E$ 值越大）的材料，在轉化為另一種材料時，其幾何寬度應該變寬還是變窄？這又會如何影響中性軸的位置呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確選出正確答案 (C)！這題考查的是組合樑（Composite Beam）的彎曲應力分析，這類題目非常考驗解題的邏輯嚴謹性與計算細心度。
轉化斷面與力學核心
要解決異質材料樑的問題，首要步驟是利用等值斷面法（Transformation Method）。已知材料 B 的彈性模數是材料 A 的 3 倍 ($n = E_B/E_A = 3$)，我們可以將 B 的寬度水平擴張 3 倍，轉化為與 A 同性質的等值斷面。接著，透過加權平均算出新的中性軸位置（距底部約 38 mm）以及轉化後的慣性矩 $I_{tr}$。由於最大彎曲力矩發生在樑中央 ($M_{max} = 7.5 \text{ kN}\cdot\text{m}$)，根據應力公式 $\sigma = n \frac{My}{I}$，最大應力會出現在距離中性軸最遠且彈性模數較高的材料 B 頂端表面，計算結果確實約為 $475.2 \text{ MPa}$。
▼ 還有更多解析內容