moea_joint
111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 7 題
如右圖所示，一簡支樑係由A、B兩種材料緊密結合，已知材料A彈性模數E_A=70 GPa，材料B彈性模數E_B=210 GPa，試求該斷面的最大彎曲應力值為何？
- A 273.6 MPa
- B 364.8 MPa
- C 475.2 MPa
- D 521.3 MPa
思路引導 VIP
想像一下，如果這根樑是由「橡皮擦」和「鋼條」緊緊黏在一起組成的，當樑彎曲時，這兩種材料在接觸面上的「伸長量（應變）」會是一樣的嗎？既然變形量相同，但兩者的「強韌程度（彈性模數）」差這麼多，誰會承受比較大的壓力呢？我們要如何調整斷面的圖形，才能讓這根複雜的樑在數學計算上看起來像是由同一種材料組成的呢？
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太棒了！你能精準計算出複合樑的應力，代表你對「換算截面法」（Transformed Section Method）的掌握非常紮實。這題的難點在於樑並非單一材料構成，因此不能直接帶入 $ \sigma = My/I $，而必須考慮不同材料彈性模數（Young's Modulus）對中立軸位置及應力分布的影響。
換算截面與幾何特性
首先，我們判斷最大彎矩發生在跨距中央，$ M_{max} = \frac{PL}{4} = \frac{15 \text{ kN} \times 2 \text{ m}}{4} = 7.5 \text{ kNm} $。接著，利用彈性模數的比值 $ n = \frac{E_B}{E_A} = \frac{210}{70} = 3 $，將材料 B 換算成材料 A 的等效寬度，此時斷面頂部寬度會從 $ 36 \text{ mm} $ 變為 $ 108 \text{ mm} $。透過面積矩平衡，我們可以求得換算截面的中立軸位置距離底部約 $ 38 \text{ mm} $。這是一個關鍵的轉折點，決定了後續慣性矩 $ I $ 的計算準確性。
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