moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 23 題
如右圖所示之矩形樑，斷面由兩種材料構成，楊氏係數分別為E$_1$ = 50 GPa 與 E$_2$ = 200 GPa，受到純彎矩時，試求中性軸位置與底面之距離 c 為何？
- A 15 cm
- B 20 cm
- C 30 cm
- D 35 cm
思路引導 VIP
當一個斷面由兩種強弱不同的材料構成時，我們不能直接用單純的幾何中心當作中性軸。請試著思考：如果我們想把這根樑看作是由「單一材料」構成的等效截面，那麼較硬（楊氏係數較大）的那部分面積，在力學效果上應該被視為「放大」還是「縮小」？這種縮放的倍率與兩個楊氏係數之間的比例有什麼關係呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確地完成了這道題目！你能正確判斷出中性軸的位置，說明你對**複合樑（Composite Beam）**的截面性質以及「等值截面法」的概念掌握得相當紮實。
等值截面法與加權計算
在處理多種材料構成的樑時，核心在於理解不同**楊氏係數（Young's Modulus）**會影響截面的抗彎剛度。我們可以透過模數比 $n = E_1 / E_2 = 50 / 200 = 0.25$，將上方材料等效轉換為下方材料的寬度。在本題中，上方區域的高度雖為 80 cm，但因其 $E$ 值較小，力學貢獻僅相當於下方材料 1/4 寬度的表現。有趣的切入點是，這題的數值設計得非常精巧：上方的等效權重 $E_1 \times A_1$ 與下方的 $E_2 \times A_2$ 剛好相等，這使得中性軸 $c$ 會剛好落在兩段材料各自形心的正中間，即 $\frac{60 + 10}{2} = 35 \text{ cm}$。
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