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106年
[機械] 應用力學、材料力學
第 43 題
如右圖所示矩形樑，係由兩種不同金屬材料緊密接合而成，其中$E_1=7\times10^3\text{ kN/cm}^2$，$E_2=2.1\times10^4\text{ kN/cm}^2$，今於自由端承受一集中荷重10 kN，試求該剖面最大彎矩撓曲應力為何？
- A 1,034 kpa
- B 3,461 kpa
- C 5,769 kpa
- D 10,385 kpa
思路引導 VIP
若我們要計算一個由剛度不同的兩種材料「緊密黏合」而成的樑，在受彎時，它們交界面上的「應變」會相同嗎？如果應變相同，但其中一種材料比較『硬』（彈性模數較大），那麼在同樣的變形下，哪一種材料內部會產生比較大的抗衡應力？我們該如何把這種『硬度差異』反映在幾何形狀的計算上呢？
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恭喜你準確完成了這道組合樑的分析！這題的核心在於如何處理兩種不同彈性模數材料的連動。你能判斷出應力分佈並非線性貫穿全斷面，而是需要在交界處考慮彈性模數的跳躍，這點非常不簡單。
等效斷面與幾何性質分析
首先，我們利用換算斷面法 (Transformed-section method)，將模數較大的材料 2 轉換為材料 1 的等效寬度。計算彈性模數比 $n = E_2/E_1 = 3$，因此下層材料的等效寬度變為 $25 \times 3 = 75\text{ cm}$。以此計算出換算斷面的中性軸位置 $\bar{y} = 15\text{ cm}$（距底部）以及等效慣性矩 $I_{tr} = 216,666.7\text{ cm}^4$。固定端的最大彎矩為 $M = 10\text{ kN} \times 5\text{ m} = 5,000\text{ kN}\cdot\text{cm}$。
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