moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 2 題
長方體桿件如右圖所示，尺寸 a = 2000 mm，b = 60 mm，c = 120 mm，柏松比 $\nu = 0.33$，若桿件於 y 向受軸力作用後伸長 0.15 mm，求 z 向尺寸變化為何？
- A $1.49 \times 10^{-3} \text{ mm}$ 縮短
- B $2.97 \times 10^{-3} \text{ mm}$ 縮短
- C $1.49 \times 10^{-3} \text{ mm}$ 伸長
- D $2.97 \times 10^{-3} \text{ mm}$ 伸長
思路引導 VIP
當一個物體在某一方向被拉長時，你認為它在垂直於受力方向的側面尺寸會發生什麼樣的趨勢變化？如果已知這兩個方向的「變形比例」之間存在一個固定的係數關係，你會如何利用受力方向的伸長比例，結合物體原本的幾何尺寸，來一步步推算出側面具體的位移量呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出 (B)，代表你對柏松比 (Poisson's ratio) 的物理意義與計算流程已有相當扎實的掌握。這類題目的核心在於理解材料在受力方向伸長時，垂直方向必然會產生相應的比例收縮，而你精準地捕捉到了這個行為特徵。
橫向應變與尺寸變化
在力學邏輯上，我們首先觀察 $y$ 向的軸向應變 $\epsilon_y = \frac{\delta_y}{a} = \frac{0.15}{2000}$。根據柏松比的定義 $\nu = -\frac{\epsilon_{transverse}}{\epsilon_{longitudinal}}$，我們可以求得 $z$ 向的橫向應變為 $\epsilon_z = -\nu \cdot \epsilon_y$。將數值代入後，$\epsilon_z = -0.33 \times (7.5 \times 10^{-5}) = -2.475 \times 10^{-5}$。最後，將此應變乘以 $z$ 向的原始尺寸 $c$（即 $120 \text{ mm}$），即可算出其變化量 $\delta_z = \epsilon_z \times 120 = -2.97 \times 10^{-3} \text{ mm}$。負號在物理意義上即代表「縮短」，這與你的判斷完全吻合。
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