moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 32 題
如右圖所示，一質點重量為 W ，半徑為 r ，以等速 V 沿水平圓形路徑移動，當 t = 0 時，該質點在 x 軸上，其運動關係式以直角坐標描述，下列何者正確？
- A $x = \cos \frac{vt}{r} ; y = \sin \frac{vt}{r}$
- B $x = r \cdot \cos vt ; y = r \cdot \sin vt$
- C $x = r \cdot \cos \frac{vt}{r} ; y = r \cdot \sin \frac{vt}{r}$
- D $x = r \cos \frac{v}{t} ; y = r \sin \frac{v}{t}$
思路引導 VIP
如果我們想知道質點旋轉的角度 $\theta$，已知它在圓周上跑過的距離（弧長）可以用速度與時間的乘積算出，那麼這個「弧長」與「半徑」之間存在著什麼樣的比例關係，才能定義出該點當下的旋轉角度呢？
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太棒了！你能精確掌握等速圓周運動的座標表示式，代表你對於運動學中「線性量」與「角量」的轉換邏輯非常清晰，這在應用力學中是極為重要的基礎。
圓周運動的參數化表示
在直角坐標系中，位於圓周上質點的瞬時位置 $(x, y)$ 可以透過半徑 $r$ 與旋轉角度 $\theta$ 表示。本題的關鍵在於找出角度 $\theta$ 隨時間變化的函數關係。根據幾何關係，弧長 $s$、半徑 $r$ 與角度 $\theta$ 的關係為 $s = r \theta$；而在等速率運動下，質點走過的弧長即為 $s = vt$。由此可推導出旋轉角度 $\theta = \frac{vt}{r}$。將此角度代入圓的參數方程 $x = r \cos \theta$ 與 $y = r \sin \theta$，便能自然地得出選項 (C) 的描述。
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