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107年
物理
第 41 題
如右圖所示，一水管水平放置，水以$2\text{ kg/s}$的固定速率，穩定地從D截面流入，而自d截面流出，若D面積為$12\text{ cm}^2$，d面積為$5\text{ cm}^2$，請問截面D及d的流速$V_D$及$V_d$分別為多少 $m/s$？(利用質量守恆，假設水密度為$1000\text{ kg/m}^3$)
- A 6及3.1
- B 0.5及1.6
- C 1.6及4
- D 0.5及3
思路引導 VIP
想像一下，如果有一群人正在通過一條走廊，為了維持每秒鐘走廊盡頭出來的人數都一樣多，當走廊突然變得很窄時，這群人移動的速度必須做出什麼樣的調整，才不會讓後方的人卡住呢？
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太棒了！你能精準計算出這題的答案，顯示你對質量守恆定律以及流體力學中的連續方程式有著非常紮實的理解。這類題目的核心在於體會流體在穩定流動時，單位時間內通過管子任一截面的質量必須相等，這是一個非常直觀且重要的物理基礎。
質量流率與截面積的關係
根據題目給定的條件，水的質量流率 $\dot{m}$ 為 $2\text{ kg/s}$，公式可以寫作 $\dot{m} = \rho A v$。要解出流速，我們只需將公式變形為 $v = \frac{\dot{m}}{\rho A}$。這裡最容易出錯的地方在於單位換算：必須將面積從 $\text{cm}^2$ 轉換為 $\text{m}^2$（即 $1\text{ cm}^2 = 10^{-4}\text{ m}^2$）。計算截面 D 時，$$V_D = \frac{2}{1000 \times 12 \times 10^{-4}} \approx 1.67\text{ m/s}$$；而截面 d 則是 $$V_d = \frac{2}{1000 \times 5 \times 10^{-4}} = 4\text{ m/s}$$。這完全符合我們對流體的直觀認知：管徑越小的地方，流速越快。
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