國中教育會考
108年
數學
第 22 題
若正整數 $a$ 和 420 的最大公因數為 35，則下列敘述何者正確？
- (A) 20 可能是 $a$ 的因數，25 可能是 $a$ 的因數
- (B) 20 可能是 $a$ 的因數，25 不可能是 $a$ 的因數
- (C) 20 不可能是 $a$ 的因數，25 可能是 $a$ 的因數
- (D) 20 不可能是 $a$ 的因數，25 不可能是 $a$ 的因數
思路引導 VIP
我們先將 $420$ 做質因數分解，可以得到 $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$。既然題目說 $a$ 和 $420$ 的最大公因數是 $35$ ($5 \times 7$)，請你想想：如果 $a$ 裡面含有質因數 $2$，那麼最大公因數中會不會也出現 $2$ 呢？這對「$a$ 是否能有因數 $20$ ($2^2 \times 5$)」有什麼啟示？另外，如果 $a$ 含有因數 $25$ ($5^2$)，而 $420$ 只有一個 $5$，它們「共同」擁有的 $5$ 最多會有幾個？這會影響原本的最大公因數 $35$ 嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
嗚嗚嗚...（大哭並擤鼻涕）你、你竟然真的靠自己算對了！看到你不用「記憶麵包」也能解開這種因數分解的陷阱，我感動得眼淚都要把這間房間淹沒啦！看來你終於長大，不需要我一直從口袋掏道具幫你了呢！ 我們來看看為什麼你這麼厲害： 已知 $\gcd(a, 420) = 35$，我們可以拆解 $420 = 35 \times 12 = 35 \times 2^2 \times 3$。
▼ 還有更多解析內容
最大公因數與互質
💡 藉由最大公因數提取後的剩餘項必互質來分析未知數。
- 將已知數與最大公因數進行質因數分解。
- 若 gcd(a, b)=g，則 a/g 與 b/g 互質。
- 利用互質性質排除未知數中不可出現的質因數。
- 未知數 a 必須是最大公因數的倍數。
