普考申論題
108年
[工業工程] 工程統計學與品質管制概要
第 一 題
📖 題組：
定義下列各名詞代表的是「事件」、「隨機變數」、「實數」或「無特殊意義」。令 X1, X2, ..., Xn 表示抽樣前的獨立資料。相對的抽樣後的資料以小寫 x1, x2, ..., xn 表示。令 X̄ = Σ Xi / n, x̄ = Σ xi / n, SX = sqrt(Σ(Xi - X̄)² / (n-1)), sX = sqrt(Σ(xi - x̄)² / (n-1)), var(X) 表示 E(X - μX)², μX = E(X) 表示 X 的期望值。（每小題 4 分，共 20 分）
定義下列各名詞代表的是「事件」、「隨機變數」、「實數」或「無特殊意義」。令 X1, X2, ..., Xn 表示抽樣前的獨立資料。相對的抽樣後的資料以小寫 x1, x2, ..., xn 表示。令 X̄ = Σ Xi / n, x̄ = Σ xi / n, SX = sqrt(Σ(Xi - X̄)² / (n-1)), sX = sqrt(Σ(xi - x̄)² / (n-1)), var(X) 表示 E(X - μX)², μX = E(X) 表示 X 的期望值。（每小題 4 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
E(SX)
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看到期望值運算子 E(·)，首先要判斷其內部的變數型態。SX 為抽樣前的樣本標準差，由隨機變數組成，故 SX 本身是「隨機變數」；而對隨機變數取期望值，其結果代表理論平均值，必定是一個常數。
小題 (二)
σX² < SX²
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先辨識算式中各符號的統計意涵：大寫字母（如 SX）代表抽樣前的隨機變數，希臘字母（如 σX²）代表母體參數（實數）。當一個不等式中包含隨機變數與常數（實數）時，在機率論中即構成一個可計算發生機率的「事件」。
小題 (三)
4X̄³
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考生看到此題應先分辨「大寫英文字母」與「小寫英文字母」在統計學定義中的差異。題目已明示大寫 X 代表抽樣前的隨機變數，故由大寫 X 組成的樣本平均數 X̄ 亦為隨機變數，而隨機變數的任何（可測）函數仍為隨機變數。
小題 (四)
P(SX²)
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解題關鍵在於先確認括號內 S_X² 的數學屬性，再檢視外層機率符號 P(·) 的使用規則。判斷 S_X² 為隨機變數後，需回想機率函數的定義域必須是「事件」而非「隨機變數」。
小題 (五)
sqrt(var(2X̄))
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先釐清 X̄ 是抽樣前的樣本平均數，屬於隨機變數；接著確認 var() 運算子的意義，即求算隨機變數的理論變異數，必定得出非負常數。最後判斷常數（非負實數）開根號的結果屬性即可。