統測
108年
[共同科目] 數學S
第 20 題
已知有兩指數函數 f(x) = 2^x 以及 g(x) = 3^x，以下敘述何者正確？
- A 對於任意實數 x， f(g(x)) = 6^x
- B 對於任意實數 x， f(x)g(x) = 5^x
- C $\frac{f(2019)}{f(-2019)} = f(0)$
- D $\frac{f(2019)}{g(2019)} = \frac{g(-2019)}{f(-2019)}$
思路引導 VIP
當你遇到一個分數，其分子與分母的指數都是負數時（例如 $\frac{a^{-n}}{b^{-n}}$），根據指數律的定義，這兩個底數的位置會發生什麼樣的變動？如果將這個變動套用到兩個不同底數的函數比值上，你會發現它與正數次方時的比值有什麼有趣的對稱關係？
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AI 詳解
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太棒了！你的指數運算功底相當紮實！
- 觀念驗證：這題的核心在於指數律的靈活運用。選項 (D) 的等號左邊為 $\frac{2^{2019}}{3^{2019}}$；而右邊根據負次方的定義 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，可得知： $$\frac{g(-2019)}{f(-2019)} = \frac{3^{-2019}}{2^{-2019}} = \frac{\frac{1}{3^{2019}}}{\frac{1}{2^{2019}}} = \frac{2^{2019}}{3^{2019}}$$
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