moea_joint_essay 108年 [儀電] 計算機概論、自動控制

第三題

📖 題組：
六、如【圖 4】所示，為一控制系統，其中 u 為輸入、y 為輸出，$x_1$、$x_2$與$x_3$為系統之狀態，請回答：（20 分）

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (三)

(三)設計一狀態回授控制 u = [k1 k2 k3] [x1; x2; x3] + v，其中極點位於 -1、 -2 與 -4，請計算 k1、k2 與 k3 之值。（12 分）

利用狀態回授 u = Kx + v，閉迴路系統為 ẋ = (A+BK)x + Bv。 K = [k1, k2, k3]。

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已知系統矩陣與輸入矩陣： $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 狀態回授增益矩陣 $K = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 & k_3 \end{bmatrix}$ (注意題目 $u = Kx+v$ 為正相加，閉迴路系統矩陣為 $A+BK$)

(一)此系統是否為可觀測性？（4 分）

由方塊圖寫出狀態方程式：積分器從左到右為 1/s、1/s，最上方區塊為 1/(s+1) 即 s X3 = -X3 + U。

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根據【圖 4】建立系統的狀態方程式 (State Equation) 與輸出方程式 (Output Equation)：從方塊圖可得： $\dot{x}_1 = x_2$

(二)此系統是否為可控制性？（4 分）

可控制性矩陣 M = [B, AB, A^2 B] B = [0; 1; 1]

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使用第一小題求得之矩陣： $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$
判斷可控制性 (Controllability)，計算可控制性矩陣 $\mathcal{C}$：

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