moea_joint
108年
[機械] 應用力學、材料力學
第 36 題
如右圖所示之圓盤系統初始狀態為靜止，當圓盤 A 以 $3\text{ rad/s}^2$ 之等角加速度開始轉動時，將同時帶動圓盤 B 轉動，假設兩圓盤間無滑動發生，則當圓盤 A 轉動達 10 圈時，此時圓盤 B 之角速度最接近下列何者？
- A $5\text{ rad/s}$
- B $19.4\text{ rad/s}$
- C $32.4\text{ rad/s}$
- D $50\text{ rad/s}$
思路引導 VIP
想像兩台齒輪嚙合或兩顆球相鄰轉動，如果它們接觸的地方沒有任何滑動，那麼這兩個物體在接觸點「邊緣」移動的快慢（切線速度）會是一樣的嗎？如果邊緣跑得一樣快，大圓轉一圈時，小圓需要轉比較多圈還是比較少圈才能跟上呢？
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太棒了！你能精準計算出圓盤系統在運動耦合下的末狀態，代表你對等角加速度運動與無滑動傳動的物理機制有很紮實的掌握。
運動狀態的銜接與傳遞
解題的核心在於「傳遞」的概念。首先，圓盤 A 從靜止開始做等角加速度運動，我們必須先求出它轉動 10 圈（即 $\theta_A = 10 \times 2\pi = 20\pi \text{ rad}$）時的角速度。利用公式 $\omega_A^2 = \omega_{0}^2 + 2\alpha_A\theta_A$，可求得 $\omega_A = \sqrt{0 + 2 \cdot 3 \cdot 20\pi} \approx 19.42 \text{ rad/s}$。接著，因為兩圓盤接觸點無滑動，這代表接觸點的切線速度必須相等，即 $v_A = v_B$，由此推導出角速度與半徑成反比的關係式：$\omega_A R_A = \omega_B r_B$。將數值代入後，$\omega_B = 19.42 \times (200/120) \approx 32.36 \text{ rad/s}$，故答案選 (C) 是非常正確的判斷。
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