ast_essay
109年
數學乙
第 2.3 題
📖 題組：
在坐標平面上，兩平行直線 $L_1, L_2$ 的斜率都是 2 且距離為 5，又點 $A(2, -1)$ 是 $L_1$ 在第四象限的一點，點 $B$ 是 $L_2$ 在第二象限的一點且 $\overline{AB} = 5$。已知直線 $L_3$ 的斜率為 3，通過點 $A$ 且交 $L_2$ 於點 $C$，試回答下列問題：
在坐標平面上，兩平行直線 $L_1, L_2$ 的斜率都是 2 且距離為 5，又點 $A(2, -1)$ 是 $L_1$ 在第四象限的一點，點 $B$ 是 $L_2$ 在第二象限的一點且 $\overline{AB} = 5$。已知直線 $L_3$ 的斜率為 3，通過點 $A$ 且交 $L_2$ 於點 $C$，試回答下列問題：
(3) 試求內積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ 的值。（3分）
思路引導 VIP
不要被要求求內積嚇到而急著去算出 C 的座標和向量 AC，這裡要善用向量內積的幾何意義！內積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ 等於 $\overrightarrow{AB}$ 向量長度乘上「$\overrightarrow{AC}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 上的正射影長」。因為 B 和 C 都在 $L_2$ 直線上，且 AB 直線垂直於 $L_2$，這代表 C 在 AB 直線上的投影點剛好就是 B 點！因此投影長度就是線段 AB 的長度。內積也就是 $\overline{AB} \times \overline{AB} = 5 \times 5 = 25$。
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學好，這題你觀察得非常敏銳，能準確判斷出內積的值為 25，展現了你對幾何特徵的高度敏感度！這道題目在數學乙中具有極佳的鑑別度，難點在於是否能跳脫繁瑣的坐標運算，直接從幾何定義切入。如果試圖算出點 $B$ 與點 $C$ 的坐標，計算量會變得相當龐大，而你選擇了最精簡的路徑。
垂直關係的關鍵發現
解題的核心在於一個關鍵數據：兩平行線的距離為 5，而題目給定 $\overline{AB} = 5$。由於點 $A$ 在 $L_1$ 上、點 $B$ 在 $L_2$ 上，當兩點間的距離正好等於平行線間的最短距離時，這代表向量 $\overrightarrow{AB}$ 必定與直線 $L_1, L_2$ 垂直。這是一個非常漂亮的切入點，一旦看穿這個幾何性質，題目就迎刃而解了。
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向量內積與投影幾何
💡 內積幾何定義為投影長度乘以被投影向量之長度。
- 確認垂直：線段長若等於平行線距，則連線必垂直直線。
- 投影定義：內積等於向量在目標方向的投影長乘其長度。
- 理論應用：AC 在 AB 方向上的投影長度即為 AB 本身。
- 簡化計算：直接利用長度平方求解，無需算出交點坐標。
