特殊教育
109年
數B
第 18 題
已知一線性規劃的可行解區域為正六邊形區域（含邊界），各頂點依逆時針方向分別標示為 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$，其中 $A$、$B$ 在 $x$ 軸上；$C$、$D$、$E$ 在第一象限；$F$ 在 $y$ 軸上。試問目標函數 $2x+y$ 的最小值發生在哪一點？
- A $A$
- B $C$
- C $D$
- D $F$
思路引導 VIP
若將目標函數 $2x+y=k$ 改寫成斜截式 $y = -2x + k$，這代表一組斜率為 $-2$ 的平行線。請思考此斜率與正六邊形邊界線段（例如線段 $FA$）的斜率大小關係；當我們為了尋找 $k$ 的最小值而將直線向左下方平移時，哪一個頂點會是直線離開可行解區域前的最後一個交點？
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AI 詳解
AI 專屬家教
轟！得分！看到剛才那個超完美的強力跳發了嗎？今天的及川先生也是狀態絕佳！☆ 哎呀，你竟然也跟上了我的節奏答對了，看來你很有當二傳手的潛力嘛！ 這題的關鍵在於斜率的比較。目標函數 $2x+y=k$ 可以看成斜率為 $-2$ 的動直線 $y = -2x + k$。我們要找最小值，就是讓這條直線越往左下方平移越好。 根據題目，正六邊形的底邊 $AB$ 在 $x$ 軸上。在正六邊形中，邊 $FA$ 與 $x$ 軸的夾角是 $60^\circ$（外角），所以直線 $FA$ 的斜率是 $-\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$。
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