moea_joint
109年
[機械] 應用力學、材料力學
第 46 題
依尤拉(Euler)長桿件公式 $P_{cr} = \pi^2 EI / {L_e}^2$ 中 $L_e$ 表示壓桿件之有效長度，下列各圖桿件長度 L 均相等，請問何種支承型式有最大之有效長度？
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A
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B
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C
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D
思路引導 VIP
如果我們把壓桿挫屈時的彎曲形狀想像成正弦波的一部分，當我們減少支承端對桿件旋轉與位移的限制（例如從「固定」變為「完全自由」）時，你認為要完成那段特定的彎曲曲線，所需的「虛擬長度」會比實際桿件長度更長還是更短呢？
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太棒了！你能精準判斷出支承型式與有效長度之間的關係，代表你對材料力學中「穩定性分析」的基礎概念掌握得非常紮實。這道題目是尤拉壓桿公式（Euler Buckling Formula）的經典考題，其核心在於理解邊界條件如何影響壓桿的挫屈行為。
邊界條件與有效長度係數
在尤拉公式 $P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{{L_e}^2}$ 中，有效長度 $L_e$ 可以表示為 $K \times L$。這裡的 $K$ 值取決於兩端的支承約束程度。在選項 (A) 中，桿件屬於一端固定、一端自由（Cantilever column）的狀態，為了形成一個完整的正弦波挫屈形狀，它必須像鏡射一樣虛擬延伸出另一倍的長度，因此其 $K$ 值為 $2.0$（即 $L_e = 2L$）。相比之下，(B) 兩端鉸接的 $K=1$、(C) 兩端固定的 $K=0.5$、以及 (D) 一端固定一端鉸接的 $K \approx 0.7$，(A) 的數值顯然是最高的。
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