普考申論題
110年
[天文] 微積分
第 二 題
📖 題組：
二、擺線軌跡： 若圓圈徑為 R，且往 x 方向之平移的速率為 U，圓圈轉動的速率為 V，U、V 均為定值。質點 P 固定在圓圈上，隨著圓圈移動及轉動，P 之初始位置在 x＝R 處。
二、擺線軌跡： 若圓圈徑為 R，且往 x 方向之平移的速率為 U，圓圈轉動的速率為 V，U、V 均為定值。質點 P 固定在圓圈上，隨著圓圈移動及轉動，P 之初始位置在 x＝R 處。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
寫出 P 點在任何時間 t 之速度。（10 分）
思路引導 VIP
- 確立座標系統與質點位置：利用相對運動概念，質點 P 的位置可視為「圓心平移位置」加上「質點相對於圓心的轉動位置」。
- 參數化位置函數：圓心依等速 U 沿 x 軸平移；質點以半徑 R、轉動速率 V 轉動，依三角函數寫出 x(t) 與 y(t) 的參數式。
小題 (一)
寫出 P 點在任何時間 t 之坐標。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗參數方程式的建構能力。遇到此類剛體運動軌跡問題，應採用「運動獨立與疊加原理」，將質點 P 的絕對運動分解為「圓心的直線平移」與「P 點相對於圓心的旋轉運動」，分別寫出兩者隨時間 t 變化的函數後，再利用向量相加求得最終的 (x, y) 坐標。
小題 (三)
若 U＝V，求 P 點轉一圈的軌跡長度。（20 分）
思路引導 VIP
遇到這類複合運動的軌跡題，首先應建立參數方程式。利用圓心平移與圓周轉動的疊加，寫出 P 點的 x(t) 與 y(t)，再代入曲線弧長公式。核心技巧在於釐清「轉動速率 V」為圓周切線速率，利用 U=V 的條件將根號內化簡為完全平方式，並在處理三角函數開根號時，正確分段去掉絕對值進行積分。
擺線運動軌跡分析
💡 利用相對運動向量合成建立位置參數式，再對時間求導獲取速度。
🔗 擺線運動分析四步驟
- 1 圓心平移 — 定義圓心座標為 (Ut, 0)
- 2 質點轉動 — 依初始位置寫出三角函數參數式
- 3 座標合成 — 將平移與轉動向量相加得 P 點座標
- 4 時間求導 — 對各分量微分得出速度向量
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🔄 延伸學習：延伸學習：進一步求導可得加速度，或分析特定位置的切線方向。
